建築 -> 構造導出
1.歪みエネルギーの導出
まず、曲げモーメント:Mを受ける梁での、中立面からの距離yでの直応力度を求める。
幾何学的性質より$ \frac{1}{\rho}=\frac{d\theta}{dx} ただしρは中立面の曲率半径
よって、距離yにおける微小長さdxの軸応力は$ \sigma=E\epsilon = E\frac{(\rho+y)d\theta-dx}{dx}=E\frac{(1+y/\rho)dx-dx}{dx}=\frac{Ey}{\rho}
ここで、各断面での総軸力=0より$ \int \sigma dA=\frac{E}{\rho}\int ydA=0よって図心と中立軸は一致。
以上より、
$ M=\int(E\epsilon)ydA=\frac{EI}{\rho} \ \ \ \ \therefore \sigma=\frac{Ey}{\rho}=\frac{My}{I}
なお、y=y0/2のとき、$ \sigma=M/Z
またこれより曲率$ \kappa=-M/EIが求まる。
次に、体積x0×y0×z0にx方向の軸応力が加えるエネルギーを考える。
$ U=W=\int_0^{\epsilon x_0}\sigma y_0z_0dx=y_0z_0\int_0^{\epsilon x_0}E\frac{x}{x_0} dx=\frac{1}{2}E\epsilon^2x_0y_0z_0
特に微小体積について、$ dU=\frac{1}{2}E\epsilon^2dxdydz
これらを用いて、曲げモーメントを受ける梁の歪みエネルギーを求める。
$ U=\int_VdU=\int_V\frac{1}{2}E\epsilon^2dxdydz=\frac{1}{2}\int\!\!\!\int\!\!\!\int E\left(\frac{My}{EI}\right)dxdydz
$ \int y^2dydz=Iより、
$ U=\int\frac{M^2}{2EI}dx\ \ _\blacksquare
2. カスティリアノの定理
Pi→Pi+δPiとなったときの仕事量を考える。
外力による仕事は、$ P_i=kx_iより$ W_i=\frac{1}{2}P_iy_i
よって、$ W+\delta W=\frac{1}{2}\sum_{k\neq i}P_k(y_k+\delta y_k)+\frac{1}{2}(P_i+\delta P_i)(y_i+\delta y_i)
微小量の2乗項の省略より、
$ \delta W\simeq\frac{1}{2}\sum_k P_k\delta y_k+\frac{1}{2}\delta P_iy_i
ここで、外力が独立と仮定すると、$ \frac{\partial P_k}{\partial P_i}=0 微小量を無視すると、
$ \frac{\partial W}{\partial P_i}=\frac{1}{2}\sum_kP_k\frac{\partial y_k}{\partial P_i}+\frac{1}{2}\delta y_i+\frac{1}{2}\delta P_i\frac{\partial y_i}{\partial P_i}+\frac{1}{2}y_i\simeq\frac{1}{2}\sum_kP_k\frac{\partial y_k}{\partial P_i}+\frac{1}{2}y_i (1)
一方、δWをPkとδPiがそれぞれなす仕事の増分の合計と捉えると、
$ \delta W=\sum_kP_k\frac{\partial y_k}{\partial P_i}\delta P_i+\frac{1}{2}\delta P_i\frac{\partial y_i}{\partial P_i}\delta P_i\simeq\sum_kP_k\frac{\partial y_k}{\partial P_i}\delta P_i (2)
(1)(2)より、$ \frac{\partial W}{\partial P_i}=y_i
同様の計算により、$ \frac{\partial W}{\partial M_i}=\theta_i\ \ _\blacksquare
3. たわみ角法
まず、梁に中間荷重がかかっていないときを考える。
曲げモーメントは、$ M(x)=M_a-\frac{M_b+M_a}{l}x
よってωの境界条件より、たわみは$ \omega(x)=\frac{1}{EI}\Bigl\{-\frac{M_a}{2}x^2+\frac{M_b+M_a}{6l}x^3+\frac{2(M_a+M_b)l}{6}x\Bigr\}
また回転角は$ \theta(x)=\frac{1}{EI}\Bigl\{-M_ax+\frac{M_b+M_a}{2l}x^2+\frac{2(M_a+M_b)l}{6}\Bigr\}
この式より、Ma・Mbは以下のように表される。
$ M_a=\frac{2EI}{l}(2\theta_a+\theta_b),\ \ \ M_b=\frac{2EI}{l}(2\theta_b+\theta_a)
次に、部材回転角Rが生じるときを考える。
$ \theta_a→\theta_a-R, $ \theta_b→\theta_b-Rより、
$ M_a=\frac{2EI}{l}(2\theta_a+\theta_b-3R),\ \ \ M_b=\frac{2EI}{l}(2\theta_b+\theta_a-3R)
最後に、部材に直接荷重が加わる場合を考える。
$ M_a→M_a+C_{a},\ \ M_b→M_b+C_{b}より、
$ M_a=\frac{2EI}{l}(2\theta_a+\theta_b-3R)-C_{a},\ \ \ M_b=\frac{2EI}{l}(2\theta_b+\theta_a-3R)-C_{b}
Ca・Cbはカスティリアノの定理等を用いて求める。
例えば両端固定の場合、θa=0と対称性より、
中央集中荷重のとき
$ M=M_a+\frac{Px}{2},\ \ \theta_a=\frac{\partial U}{\partial M_a}=\frac{2}{EI}\int_0^{l/2}M\frac{\partial M}{\partial M_a}dx=0
$ \therefore C_a=M_a=-\frac{Pl}{8}
分布荷重のとき
$ M=M_a+\frac{wx(l-x)}{2},\ \ \theta_a=\frac{2}{EI}\int_0^{l/2}M\frac{\partial M}{\partial M_a}dx=0
$ \therefore C_a=M_a=-\frac{wl^2}{12}
4. 単位荷重法
まず、外力を関数q(x)で表す方法について考察する。
x=x0での集中荷重によるq(x)は、ディラックのデルタ関数を用いて以下のように表せる。
$ q(x)=Q\cdot\delta(x;x_0)
これを用いて、変位ωと外力qは以下のように書くことができる。
$ -EIω''''(x)+q(x)=0
これを用いて単位荷重法を導出する。
元の状態を系A、x=aに単位荷重をかけた状態を系Bとおくと、系Bは適切な境界条件のもとで
$ -EI\omega_a''''(x)+\delta(x;a)=0と表される。
被積分関数が恒等的に0だから、次の式が成り立つ。
$ \int_0^l\omega(x)\{-EI\omega_a''''(x)+\delta(x;a)\}dx=0
これを計算して、
$ \Big[-EI\omega\omega_a'''+EI\omega'\omega_a''\Big]_0^l-\int_0^l EI\omega''\omega_a''dx+\omega(a)=0
よって、
$ \omega(a)=\int_0^l\frac{MM_a}{EI}dx-\Big[-EI\omega\omega_a'''+EI\omega'\omega_a''\Big]_0^l
水平梁を扱う場合、$ \omega(0)=\omega(l)=0
また、系Aと系Bを一致させる場合、x=0,l(境界)において$ \omega'=0または$ \omega_a''=0
よって、$ \omega(a)=\int_0^l\frac{MM_a}{EI}dxが成り立つ。
x=aに単位モーメントをかけた場合も同様に、
$ EI\omega_a'''+\delta(x;a)=0より$ \int_0^l\omega'(x)\{EI\omega_a'''(x)+\delta(x;a)\}=0
これを計算して、$ \Big[EI\omega'\omega_a''\Big]_0^l-\int_0^lEI\omega''\omega_a''dx+\omega'(a)=0
$ \therefore \omega'(a)=\int_0^l\frac{MM_a}{EI}dx-\Big[EI\omega'\omega''_a\Big]_0^l
系Aと系Bを一致させる場合、第二項は省略できる。
参考文献:
鈴木基行「ステップアップで学ぶ構造力学徹底演習」